Question

用 三角形一边上底×高 的思路推导三角形面积公式

我推导出来总是 根号2(x^2)(y^2)+2(x^2)(z^2)+2(y^2)(z^2)-x^4-y^4-z^4

浙江杭州

Answer 1

哪有那么复杂？不就是用x,y,z的表达式来表示k吗
就是你那两个方式算出来的高是同一根线，二者相等不就行了
即 √[x^2-k^2]=√[y^2-(z-k)^2]
=> x^2-k^2=y^2-(z-k)^2
=> x^2-k^2=y^2-(z^2-2zk+k^2)
=> x^2-k^2=y^2-z^2+2zk-k^2
=> x^2-y^2+z^2=2zk
=> k=(x^2-y^2+z^2)/(2z)
这不就出来了么！

追问

最后面积呢？

追答

面积当然是S=1/2*底*高
底=z，高=√[x^2-k^2]=1/(2z)*√[4x^2z^2-(x^2-y^2+z^2)]
S=1/2*底*高
=1/2*z*1/(2z)*√[4x^2z^2-(x^2-y^2+z^2)]
=1/4*√[4x^2z^2-(x^2-y^2+z^2)]

PS：经2组数据验算，与海伦公式结果相同

追问

2组数据是什么？？是海伦公式分解吗？

Answer 2

根据 高相等，列等式得，x² - k² = y² -（z-k)²
解得， k =根号[(x²-y²+z²)/2z]

追问

最后面积呢？

Answer 3

首先我想到的事用三角形面积公式中的海伦公式s=(p（p-x)(p-y)(p-z))^0.5 其中 p=（x+y+z)/2
, 具体海伦公式的用法简介网页http://baike.baidu.com/view/1279.htm
然后求出你的图形的高h=2s/z,并且知道 k，x ，h组成直角三角形，由勾股定理得 k=(x^2-h^2)^0.5
(^0.5 代表对一个数求取算术平方根）

追问

早知道海伦公式，我想换一种方法来推导

追答

对于问题来说 有的思路简单 当是过程复杂
有的思路复杂 过程简单 你看这个办
推荐看一本书 叫三角之美 写的比较有意思