Question

已知函数f（x）=x 3 -ax 3 +bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值（1）求a，b（2）当x

已知函数f（x）=x 3 -ax 3 +bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值（1）求a，b（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x 2 -2ax+b=0的两根， ∴ -1+3= 2 3 a -1×3= b 3 ，∴ a=3 b=-9 （2）f（x）=x 3 -3x 2 -9x+c，f′（x）=3x 2 -6x-9，当x变化时，有下表 x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞） f’（x） + 0 - 0 + f（x） ↗ Max c+5 ↘ Min c-27 ↗ 而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54 要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可 当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18 ∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）