Question

如图，设P是凸四边形ABCD内的一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H．已知AH=3，HD

如图，设P是凸四边形ABCD内的一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H．已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1．则四边形ABCD的周长为______．

Answer 1

由勾股定理可得：
AP²=AH²+PH²=AE²+PE²
BP²=BE²+PE²=BF²+PF²
CP²=CF²+PF²=CG²+PG²
DP²=DG²+PG²=DH²+PH²
以上四式后一等号两边分别相加，并代入已知数值可得：
9+BE²+36+1=AE²+16+25+16
化简得：BE²-AE²=11，即（BE+AE）（BE-AE）=11，
又已知：BE-AE=1，
解得：BE=6，AE=5，
故周长为34．
故填：34．