Question

定义在R上的奇函数f（x），满足 f( 1 2 )=0 ，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为

定义在R上的奇函数f（x），满足 f( 1 2 )=0 ，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（　　） A． {x|x＜- 1 2 或x＞ 1 2 } B． {x|0＜x＜ 1 2 或- 1 2 ＜x＜0} C． {x|0＜x＜ 1 2 或x＜- 1 2 } D． {x|- 1 2 ＜x＜0或x＞ 1 2 }

Answer 1

∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （ 1 2 ）=0， ∴f （- 1 2 ）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减， ∵当x＜0，当- 1 2 ＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0 当x＞0，当0＜x＜ 1 2 时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0 综上xf（x）＞0的解集为 {x|0＜x＜ 1 2 或- 1 2 ＜x＜0} 故选B

Answer 2

引用懒羊复仇专用溔的回答：
∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （ 1 2 ）=0，∴f （- 1 2 ）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当- 1 2 ＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x＞0，当0＜x＜ 1 2 时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0综上xf（x）＞0的解集为 {x|0＜x＜ 1 2 或- 1 2 ＜x＜0} 故选B

f(0)=0 f(1/2)=0 与单调矛盾