Question

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率 e= 3 2 ．已知点 P(0， 3 2

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率 e= 3 2 ．已知点 P(0， 3 2 ) 到这个椭圆上的点的最远距离为 7 ，求这个椭圆方程．

Answer 1

设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) ，M（x，y）为椭圆上的点，由 c a = 3 2 得a=2b， |PM| 2 = x 2 + (y- 3 2 ) 2 =-3 (y+ 1 2 ) 2 +4 b 2 +3(-b≤y≤b) ， 若 b＜ 1 2 ，则当y=-b时|PM| 2 最大，即 (-b- 3 2 ) 2 =7 ， ∴b= 7 - 3 2 ＞ 1 2 ，故矛盾． 若 b≥ 1 2 时， y=- 1 2 时， 4b 2 +3=7， b 2 =1，从而a 2 =4． 所求方程为  x 2 4 + y 2 =1 ．

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示