Question

已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．（1）若a=2，求f（x）在[-1，1]上的最小值；（2）若存在x0∈（0，+∞

已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．（1）若a=2，求f（x）在[-1，1]上的最小值；（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x．
令f′（x）=0，得x1＝0，x2＝

4

3

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）	-7	-	0	+	1
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∴当x∈[-1，1]时，f（x）最小值为f（0）=-4；  
（2）∵f′(x)＝?3x(x?

2a

3

)．
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0；
②若a＞0，则当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0，∴f（x）在(0，

2a

3

)上单调递增；
当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0，∴f（x）在(

2a

3

，+∞)上单调递减．
∴当x∈（0，+∞）时，fmax(x)＝f(

2a

3

)＝?

8a3

27

+

4a3

9

?4＝

4a3

27

?4．
根据题意，得

4a3

27

?4＞0，∴a＞3．
综上，a的取值范围是（3，+∞）．