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设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(13)=1,且当x>0时,f(x)<0.(1)
设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(13)=1,且当x>0时,f(x)<0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)...
设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(13)=1,且当x>0时,f(x)<0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.
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(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
(2)令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数f(x)是R上的奇函数
(3)f(x)是R上的减函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0
∴f(x1)>f(x2)
故f(x)是R上的减函数,
令x=y=
,
∴f(
)=f(
)+f(
)=2,
∵f(x)+f(2+x)<2,
∴f(2+2x)<f(
),
∴2+2x>
,
解得x>?
,
故x的取值范围为(?
,+∞)
(2)令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数f(x)是R上的奇函数
(3)f(x)是R上的减函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0
∴f(x1)>f(x2)
故f(x)是R上的减函数,
令x=y=
1 |
3 |
∴f(
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
∵f(x)+f(2+x)<2,
∴f(2+2x)<f(
2 |
3 |
∴2+2x>
2 |
3 |
解得x>?
2 |
3 |
故x的取值范围为(?
2 |
3 |
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