Question

如图所示，关于该装置的下列叙述中，不正确的是（　　

如图所示，关于该装置的下列叙述中，不正确的是（　　）

Answer 1

（1）由n=1，2，（3分）别代入递推式即可得a₂=2，a₃=3，a₄=4…（3分）
（2）因为na_n+1=2S_n，（n-1）a_n=2S_n-1，
所以na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n即na_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

＝

n+1

n

所以

a2

a1

?

a3

a2

?

a4

a3

…

an

an?1

＝

2

1

?

3

2

?

4

3

…

n

n?1

，an＝n(n∈N*)．…（7分）
（3）①由（2）得b1＝

1

2

，bn+1＝bn+

b 2 n

(n+1)2

＞bn＞bn?1＞…＞b1＞0
所以{b_n}是正项单调递增数列，…（8分）
当n∈N^*时，bn+1＝bn+

b 2 n

(n+1)2

＜bn+

bn+1bn

(n+1)2

，…（9分）
所以bn+1?bn＜

bn+1bn

(n+1)2

，

bn+1?bn

bn+1bn

＜

1

(n+1)2

即

1

bn

?

1

bn+1

＜

1

(n+1)2

．…（11分）
②由①得，当n≥2时，

1

b1

?

1

b2

＜

1

22

，

1

b2

?

1

b3

＜

1

32

，…，

1

bn?1

?

1

bn

＜

1

n2

所以(

1

b1

?

1

b2

)+(

1

b2

?

1

b3

)+…+(

1

bn?1

?

1

bn

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

即

1

b1

?

1

bn

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

…（13分）
所以

1

b1

?

1

bn

＜

1

2?1

+

1

3?2

+…+

1

n?(n?1)

=(

1

1

?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)=1?

1

n

…（14分）
所以

1

bn

＞

1

b1

+

1

n

?1＝2+

1

n

?1＝

n+1

n

＞1，即b_n＜1（n≥2）
又当n=1，b1＝

1

2

＜1…（15分）
故当n∈N^*时，b_n＜1．