Question

高一数学题

Y＝根号下sinX的定义域
已知向量a＝（根号3倍的sin x，m＋cos x）向量b＝（cos x，﹣m＋cos x），且f（x）＝向量a·b。
（1）求f（x）解析式。（2）当x[﹣π/6，π/3]时，f（x）的最小值为﹣4，求此时函数最大值，并求出相应x的值。
3.某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24）的函数，下列是每天时间与水深的关系表。
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经长期观测，y＝f（t）可以近似的看成y＝Asinωt+b
求（1）求出解析式
（2）若船舶航行时，水深至少11.5米才是安全，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全进出港口

Answer 1

y=√sinx，则 sinx≥0，2kπ≤x≤(2k+1)π（k为整数）；

f(x)=向量a•b=√3sinx*cosx+(cosx+m)(cosx-m)=(√3/2)sin2x +(cos²x-m²)
=(√3/2)sin2x +(1/2)cos2x-(1/2)-m²=sin(2x +π/6)-(1/2)-m²；
当 x∈[-π/6,π/3]，sin(2x +π/6)的最小值为sin(-π/6)=-1/2，
∴ min f(x)=(-1/2)-(1/2)-m²=-4，∴ m²=3；
sin(2x +π/6)的最大为1（对应 x=π/6），则 max f(x)=1-(1/2)-m²=(1/2)-3=-5/2；

y=Asinωt+b；
（1）y 最大为 13，最小为 7，中值10；所以 A=3，b=10；
一日之内水深 y 值有四次接近或等于中值 10，所以 T=12（小时），ω=2π/T=π/6；
y 的解析式：y=f(t)=3sin(πt/6)+10
（2）船舶安全航行的要求是 y≥11.5（米），即 3sin(πt/6)+10≥11.5，sin(πt/6)≥1/2；
∴ π/6≤πt/6≤π-(π/6) 或 2π+(π/6)≤πt/6≤3π-(π/6)，即 1≤t≤5 或 13≤t≤17；
清晨 1~5 时、下午 13~17 时船舶可安全进出港口；

Answer 2

1.由sinX不小于零，得360k小于等于X小于等于360k+180