Question

已知数列{an}满足：a1=3，an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（1）证明数列{(an-1)/an-2 }为等比数列，并求数...

已知数列{an}满足：a1=3，an+1=（3an-2）/an ,n∈N*．（1）证明数列{(an-1)/an-2 }为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设设bn=an（an+1-2），数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜2．

Answer 1

a(n+1)=[3a(n)-2]/a(n),

a(n+1)-1 = [3a(n)-2]/a(n) - 1 = 2[a(n)-1]/a(n), ....(*)
若a(n+1)=1,则a(n)=1, ..., a(1)=1,与a(1)=3矛盾。
因此，a(n)不为1。

a(n+1)-2=[3a(n)-2]/a(n)-2=[a(n)-2]/a(n),...(**)
若a(n+1)=2,则a(n)=2,...,a(1)=2,与a(1)=3矛盾。
因此，a(n)不为2。

结合（*）和（**）式，有，
[a(n+1)-1]/[a(n+1)-2] = 2[a(n)-1]/[a(n)-2],
{[a(n)-1]/[a(n)-2]}是首项为[a(1)-1]/[a(1)-2]=2,公比为2的等比数列。

[a(n)-1]/[a(n)-2] = 2*2^(n-1) = 2^n,

[a(n)-1] = [a(n)-2]2^n = a(n)*2^n - 2^(n+1),
a(n)[2^n - 1] = 2^(n+1)-1,
a(n) = [2^(n+1)-1]/[2^n - 1].

a(n+1) - 2 = [2^(n+2)-1]/[2^(n+1)-1] - 2 = [2^(n+2)-1-2^(n+2)+2]/[2^(n+1)-1] = 1/[2^(n+1)-1].
b(n) = a(n)[a(n+1)-2] = 1/[2^n - 1] <= 1/[2^n - 2^(n-1)] = 1/2^(n-1),
s(n) = b(1)+b(2)+...+b(n)
<= 1 + 1/2 + ... + 1/2^(n-1)
= [1-1/2^n]/(1-1/2)
= 2[1-1/2^n]
= 2 - 1/2^(n-1)
< 2