Question

设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(ax不=0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6x+21=0垂直

导函数f‘（x）的最小值为-12。（1）求函数f（x）的解析式。（2）若方程f（x）=3x2+m有两个不同的实数根，求实数m的值。
直线方程式x-6y+21=0

Answer 1

答：
（1）f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f(-x)=-ax³+bx²-cx+d=-f(x)=-ax³-bx²-cx-d
所以：b=d=0
f(x)=ax³+cx
f'(x)=3ax²+c
因为：f(x)在x=1处的切线与直线x-6y+21=0垂直，直线斜率为1/6。
所以：f'(1)=-1/(1/6)=-6
所以：f'(1)=3a+c=-6
f'(x)=3ax²+c的最小值为-12
所以：c=-12，a>0，代入f'(1)=3a+c=-6解得：a=2
所以：f(x)=2x³-12x

（2）f(x)=3x²+m有两个不同的实数根，即：2x³-12x=3x²+m
设g(x)=2x³-3x²-12x-m
求导：g'(x)=6x²-6x-12
令g'(x)=6x²-6x-12=0，解得：x1=-1，x2=2
当x<-1或者x>2时，g'(x)>0，g(x)是增函数；
当-1<x<2时，g'(x)<0，g(x)是减函数。
所以：x=-1是g(x)的极大值点，x=2是g(x)的极小值点。
g(x)=2x³-3x²-12x-m=0有两个相异的实数根，
则必须保证：
g(1)=2-3-12-m=-13-m=0，g(2)=16-12-24-m=-20-m<0，解得：m=-13
或者：
g(1)=2-3-12-m=-13-m>0，g(2)=16-12-24-m=-20-m=0，解得：m=-20

综上所述，m=-13或者m=-20时，f(x)=3x²+m存在两个相异的实数根。

Answer 2

(1)
函数是奇函数f（0） = 0
将点（1，f(1)）代入直线方程可以得到,f(1)的值
f'(1)的值和直线的斜率
f'(x) 最小值为-12
四个方程求出a,b, c,d
(2)
设g(x) = ax3 + (b+3)x2 + cx +d + m
根据g(x)的升降区间，让g(x)和x轴有两个交点

Answer 3

奇函数，f（0）=0，所以d=0；f'（x）=3ax^2+2bx+c,f'(1)=3a+2b+c=直线方程的斜率倒数的相反数（直线方程你写错了）；3ax^2+2bx+c最小值=-1/2等价于c-(b^2/3a)=-1/2
题目错误做不下去了

追问

没有错啊、题目上就这么写的

追答

直线x-6x+21=0是啥子直线方程？

追问

我打错了，已经改了

追答

则必须保证：
g(-1)=7-m=0，g(2)=16-12-24-m=-20-m<0，解得：m=7