Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当 时，求 的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF= OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG= BG．

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Answer 1

解：（1）∵ ，∴ 。 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC。∴△CEF∽△ADF。 ∴ 。∴ 。∴ 。 （2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF。 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD。 又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD。∴AD=AF。 在Rt△AOD中，根据勾股定理得： ，∴AF= OA。 （3）证明：连接OE， ∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点， ∴点O是BD的中点。 又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线。 ∴OE∥CD，OE= CD。∴△OFE∽△CFD。 ∴ 。∴ 。 又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD。∴△EGF∽△ECD。∴ 。 在Rt△FGC中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF。 又∵CD=BC，∴ 。∴ 。∴CG= BG。

试题分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解。 （2）利用角之间的关系到证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在Rt△AOD中，利用勾股定理可以证得。 （3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得。