Question

f(x)在(0,正无穷)可导，f(x)>0，lim x->正无穷 f(x)=1，lim h->0[f(x+hx)/f(x)]^(1/h)=e^(1/x)，求f(x)？

红框里那一步是怎么得出来的？

Answer 1

如果只是问红框中的等式是如何来的话，回答如下：
所求的是对h—>0时极限，因此f(x)与h无关可以提出到极限符号以外。而x则是分子分母同时乘与x而添加的辅助，并将分子的x提出到极限符号之外。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

设y=[f(x+hx)/f(x)]^(1/h),则lny=(1/h)*ln[f(x+hx)/f(x)]。
后对h趋于0的lim lny=lim (1/h)*ln[f(x+hx)/f(x)] =lim (1/h)*ln[1+(f(x+hx)-f(x))/f(x)]
此时，因为h趋于0 (f(x+hx)-f(x))/f(x)=0 0/0型 ln(1+x)~x 等价无穷小的替换所以得到那个红框
注：0/0的分子是ln[1+(f(x+hx)-f(x))/f(x)] 分母是h (而h趋于0)