Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，nbn+1=（n+1）bn，（n∈N*）（

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，nbn+1=（n+1）bn，（n∈N*）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式．（2）数列{bn}的前n项和为Qn，且Tn=Sn+Qn是否存在常数λ，使得对任意正整数n，不等式λTn≥Tn+1恒成立？若存在，求λ的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）令n=1，得a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），
整理，得a_n=2a_n-1，
∴an＝2n?1．
∵数列{b_n}满足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，
∴

bn+1

n+1

＝

bn

n

，
∴{

bn

n

}是首项为1的常数列，∴

bn

n

＝1，
∴b_n=n．
（2）∵数列{b_n}的前n项和为Q_n，
∴Qn＝1+2+3+…+n＝

n(n+1)

2

，
∵T_n=S_n+Q_n，
∴T_n=2?2n?1?1+

n(n?1)

2

=2n?1+

n(n+1)

2

，
当n=1时，λT₁≥T₂，得λ≥3，
当n=2时，λT₂≥T₃，得λ≥

13

6

，
猜想：当λ≥3时，3T_n≥T_n+1．
证明：3Tn?Tn+1＝3[2n?1+

n(n+1)

2

]-[2n+1?1+

(n+1)(n+2)

2

]
=2ⁿ+n-3≥0．
综上所述，λ存在最小值3，使不等式λT_n≥T_n+1成立．