Question

Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列

Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列结论：①（BE+CF）=22BC；②S四边形AEDF=AD?BD；③AD≥EF；④AD与EF可能互相平分．其中正确结论的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：①∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠EAD＝∠C AD＝CD ∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=

AD2+DB2

=

2

BD=

2

2

BC．
故①正确；
②∵△AED≌△CFD（ASA），
∴S_△AED=S_△CFD，
∴S_{四边形AEDF}=S_△ADC．
∵S_△ADC=

1

2

AD?DC=

1

2

AD?DB．
∴S_{四边形AEDF}=

1

2

AD?DB．故②错误；
③设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．
EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2（x-

1

2

a）²+

1

2

a²，
∴当x=

1

2

a时，EF²取得最小值

1

2

a²，
∴EF≥

2

2

a（等号当且仅当x=

1

2

a时成立），
而AD=

2

2

a，∴EF≥AD．故③错误；
④当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故④正确．
综上所述，正确的有：①④，共2个．