Question

（1）如图，点D、E分别是正△ABC边AC、CB延长线上的点，且CD=BE，连接DB并延长交AE于F，求∠AFB的度数；

（1）如图，点D、E分别是正△ABC边AC、CB延长线上的点，且CD=BE，连接DB并延长交AE于F，求∠AFB的度数；（2）若将（1）中的正△ABC变成正四边形ABCM，如图2，E、D分别是以C为顶点的CB和MC延长线上的点，且CD=BE，连接DB并延长交AE于F，求∠AFB的度数；（3）若将（2）中的正四边形ABCM变成正五边形ABCMN，如图3，其他条件不变求∠AFB的度数为______（4）若将（2）中的正四边形ABCM变成正n边形ABCM…N，如图4，其他条件不变，根据（1）、（2）、（3）中所展现的规律用含字母n的代数式表达∠AFB的度数为(n?2)×180°n(n?2)×180°n

Answer 1

（1）∵三角形ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-60°=120°，
在△ABE和△BCD中，

AB＝BC ∠ABE＝∠BCD BE＝CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）∵四边形ABCM是正四边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=90°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-90°=90°，
在△ABE和△BCD中，

AB＝BC ∠ABE＝∠BCD BE＝CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=90°；

（3）∵四边形ABCMN是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=

(5?2)×180°

5

=108°，
∴∠ABE=∠BCD=180°-108°=72°，
在△ABE和△BCD中，

AB＝BC ∠ABE＝∠BCD BE＝CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=108°，
故答案为：108°；

（4）∵四边形ABCM…N是正n边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCM=

(n?2)×180°

n

，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，

AB＝BC ∠ABE＝∠BCD BE＝CD

，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠E=∠D，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠BCM=

(n?2)×180°

n

，
故答案为：

(n?2)×180°

n

．