Question

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+2n（其中n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式an； （2）设bn＝an?23n?

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+2n（其中n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式an； （2）设bn＝an?23n?3，求数列{bn}的前n项的和．

Answer 1

（1）①当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
上式对于n=1时也成立．
综上：a_n=2n+1．
（2）由题意得：bn＝(2n+1)?23n?3=（2n+1）?8^n-1．
设数列{b_n}的前n项的和为T_n．
则T_n=3×1+5×8+7×8²+…+（2n+1）?8^n-1．
∴8T_n=3×8+5×8²+…+（2n-1）?8^n-1+（2n+1）?8ⁿ，
两式相减得-7T_n=3+2×8+2×8²+…+2×8^n-1-（2n+1）?8ⁿ
=1+2×（1+8+8²+…+8^n-1）-（2n+1）?8ⁿ
=1+2×

8n?1

8?1

-（2n+1）?8ⁿ=1+

2

7

(8n?1)?(2n+1)?8n
=

5

7

-

14n+5

7

?8n．
∴Tn＝

(14n+5)?8n?5

49

．