Question

已知数列{an}满足首项为a1=2，an+1=2an（n∈N*）．设bn=3log2an-2（n∈N*），数列{cn}满足cn=anbn．（Ⅰ

已知数列{an}满足首项为a1=2，an+1=2an（n∈N*）．设bn=3log2an-2（n∈N*），数列{cn}满足cn=anbn．（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列；（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n，且a₁=2≠0，
∴数列{a_n}为等比数列，则an=a1qn-1=2n，
∴b_n=3log₂a_n-2=3log22n-2=3n-2．
∵b_n+1-b_n=3（n+1）-2-3n+2=3，
∴{b_n}为以3为公差的等差数列；
（Ⅱ）解：∵cn=anbn=(3n-2)?2n，
∴Sn=1?2+4?22+7?23+…+(3n-2)?2n  ①
2Sn=1?22+4?23+7?24+…+(3n-5)?2n+(3n-2)?2n+1  ②
①-②得：-Sn=2+3[22+23+24+…+2n]-(3n-2)?2n+1
=2+3?

4(1-2n-1)

1-2

-(3n-2)?2n+1=-10+（5-3n）?2ⁿ⁺¹，
∴Sn=10-(5-3n)?2n+1．