Question

如图，已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为E，连接AC、BC、BD、OD．（1）求证：AC=OD

如图，已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为E，连接AC、BC、BD、OD．（1）求证：AC=OD；（2）判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在⊙O的圆周上找一点M，使A、C、M三点组成等腰三角形，请直接写出此时∠ACM的度数的所有情况．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OC，
∵弦CD垂直平分OA，
∴∠OEC=90°，OE=

1

2

OA=

1

2

OC，
∴∠OCE=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=OC，
∴AC=OD；

（2）△BCD是等边三角形．
理由：弦CD垂直平分OA，
∴BC=BD，
∵OC=OD，
∴∠DOE=∠COE=60°，
∴∠COD=120°，
∴∠CBD=

1

2

∠COD=60°，
∴△BCD是等边三角形；

（3）若AC=AM，则点M与点D重合，此时∠ACM=30°；
若AM=CM，则点M在AC的垂直平分线上，当点M在劣弧

AC

上时，∠ACM=15°；当点M在优弧

ABC

上时，∠ACM=75°；
若AC=CM，则∠ACM=120°．
综上可得：∠ACM的度数为：15°，30°，75°，120°．