Question

矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？

矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？我这里有一道题：五阶方阵秩为四，其伴随矩阵秩是多少？鄙人对线代真的很无语，原谅我的智商……

Answer 1

鄙人对线代也很无语。。。

Answer 2

Answer 3

别这样说自己，人类学习知识的过程就是重塑大脑神经元的过程，没什么智商不智商的。
你可以自己写一个矩阵，比如
12
34
来对照下面的知识点去做实际的运算，
设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：
r(A*) = n, 若r(A)=n

r(A*)=1, 若r(A)=n-1；

r(A*)=0，若r(A)<n-1;

证明如下所示：

若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；

若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;

若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，
所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.