Question

矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？

矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？我这里有一道题：五阶方阵秩为四，其伴随矩阵秩是多少？鄙人对线代真的很无语，原谅我的智商……

Answer 1

。。记住就好了

Answer 2

R(A)=n，即A可逆，$A^{*}A=E$，秩为n。R(A)=n-1时，则至少有一个n-1代数余子式不为0，即秩≥1。又由线性方程组理论矩阵A和其伴随矩阵秩的和≤n，可得秩为1。R(A)＜n-1时，n-1代数余子式全为0，即伴随矩阵为零矩阵，秩为

Answer 3

设A是n阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,两者的秩的关系如下: r(A*) = n, 若r(A)=n r(A*)=1, 若r(A)=n-1; r(A*)=0,若r(A)<n-1; ...

Answer 4

引用看如何无悔的回答：
设A是n阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,两者的秩的关系如下: r(A*) = n, 若r(A)=n r(A*)=1, 若r(A)=n-1; r(A*)=0,若r(A)<n-1; ...

设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：
r(A*) = n, 若r(A)=n
r(A*)=1, 若r(A)=n-1；
r(A*)=0，若r(A)<n-1;
证明如下所示：
若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；
若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;
若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.

Answer 5

一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系：
1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；
2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；
3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）