Question

求解，两道高二数学题

Answer 1

已知函数 f(x)=x^3-3ax^2+2bx 在点x=1处有极小值-1。试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。

【解】∵f(x)=x^3-3ax^2+2bx
∴f'(x)=3x^2-6ax+2b
由已知得f'(1)=0,则 3-6a+2b=0
∵当x=1是有极小值-1
∴f(1)=1-3a+2b=-1
3-6a+2b=0…①
1-3a+2b=-1…②
由①②得a=1/3， b=-1/2
把a=1/3 b=-1/2代入f(x)中
∴f(x)=x^3-x^2-x
∴f'(x)=3x^2-2x-1
令f'(x)＝0,则f'(x)=(3x+1)(x-1)=0
若f'(x)>0，即(-∞,-1/3]，[1,+∞)，函数f(x)单调递增.
若f'(x)<0，即[-1/3,1]，函数f(x)单调递减.

2.
f(x)=4x^3+ax^2+bx+5
f(1)=4+a+b+5=9+a+b
f'(x)=12x^2+2ax+b
f'(1)=12+2a+b
图象在x=1处的切线方程为y=-12x
所以
y(1)=-12=9+a+b
y'(1)=-12=12+2a+b
联立解得
a=-3,b=-18
f(x)=4x^3-3x^2-18x+5
求函数f(x)在[-3，1]上的最大值和最小值。
f'(x)=12x^2-6x-18=0
x=3/2,x=-1
f(-1)=16
f(-3)=4*(-27)-3*9+54+5=-108+32=-76
f(1)=4-3-18+5=-12
所以最大值f(-1)=16
最小值f(-3)=-76

Answer 2

解：
1. 根据x=1处有极小值-1 得 f(1)=1-3a+2b=-1且 f`(1)=3-6a+2b=0 解得a=1/3,b=-1/2
f`(x)=3x^2-2x-1 令3x^2-2x-1>0 解得x>1或x<-1/3 所以增区间是（1，∞），（-∞，-1/3)
减区间是[-1/3,1)
2.由导数的几何意义得f`(1)=12+2a+b=-12 ① 因切点坐标是（1，-12)代入f(x)=4x^3+ax^2+2bx得
-12=4+a+b +5 ② 由① ② 解得a=-3,b=-18 所以f(x)=4x^3-3x^2-18x+5
(2)因为f`(x)=12x^2-6x-18 则 f`(x)=12x^2-6x-18 =0 解得x=3/2或x=-1
在[-3,1]内x=-1是f(x)=4x^3-3x^2-18x+5的极大值，且f(-1)=16 f(-3)=-76 f(1)=-12
所以f(x)在[-3,1]上的最大值是16 ，最小值是-76