Question

如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P

如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。 (1)求四边形CDFP的周长；(3分)(2)请连结OF,OP,求证：OF⊥OP；(4分) (3)延长DC,FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙).是否存在点P使△EFO∽△EHG(其对应关系是 )?如果存在,试求此时的BP的长；如果不存在,请说明理由。(5分)

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Answer 1

（1）6（2）证明见解析（3）存在，

解：(1)∵四边形ABCD是正方形   ∴∠A=∠B=Rt∠ ∴AF、BP都是⊙O的切线  (1分) 又∵PF是⊙O的切线  ∴EF=FA,PE=PB  ∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3="6" (3分) (2)∴连结OE,∵PF是⊙O的切线 ∴OE⊥PF . 在Rt⊿AOF和Rt⊿EOF中∵AO=EO,OF=OF ∴Rt⊿AOF∽Rt⊿EOF∴∠AOF=∠EOF(5分) 同理∠BOP=∠EOP ∴∠EOF+∠EOP=1/2×180°=90°∴∠EOP=90°即OF⊥OP   (7分) (3)存在(如果这一步不写,但下面各步骤都正确,不扣分)  (8分) ∵∠EOF=∠AOF ∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF, ∴当∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°时   Rt⊿EOF∽Rt⊿EHG   (10分) 此时∠EOF=30°,∠BOP=∠EOP=90°－30°=60° ∴BP=OB·tan60°=   (12分) （1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得； （2）连结OE，根据切线的性质和相似三角形，求得∠EOP=90°，即可求得OF⊥OP； （3）要△EFO∽△EHG，必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的长．