如图,平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A、B(A在左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点

如图,平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A、B(A在左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点M,对称轴与线段BC交于点N,点P为线段BC上一个动点(... 如图,平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A、B(A在左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点M,对称轴与线段BC交于点N,点P为线段BC上一个动点(与B、C不重合).(1)求点A、B的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使|DC-DB|的值最大,求点D的坐标;(3)过点P作PQ∥y轴与抛物线交于点Q,连接QM,当四边形PQMN满足有一组对边相等时,求P点的坐标. 展开
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陌语哲偅
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解:(1)∵抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A、B(A在左侧),
∴抛物线与x轴的交点坐标为:0=-x2+3x+4,
解得:x1=-1,x2=4,
A(-1,0)、B(4,0);

(2)连接AC并延长交抛物线的对称轴于D,
将A(-1,0),C(0,4)点的坐标代入:Y=kx+b,
b=4
?k+b=0

解得:b=4,k=4,
求出直线AC解析式:y=4x+4,
将x=1.5,代入y=4x+4得,
y=10,
∴D点坐标(1.5,10)

(3)设P(x,-x+4),Q(x,-x2+3x+4),
①四边形PQMN是平行四边形,此时PQ=MN,
由题意得,
25
4
?
5
2
=(-x2+3x+4)-(-x+4)
解得:x=2.5,x=1.5(舍去)
此时P(2.5,1.5),
②四边形PQMN是等腰梯形,此时PN=QM进一步得MG=NH(QG、PH是所添的垂线段),
从而得方
25
4
+x2-3x-4=-x+4-
5
2

解得x=0.5,x=1.5(舍去),
此时P(0.5,3.5),
综合上述两种情况可知:当四边形PQMN满足有一组对边相等时,
P点的坐标为(2.5,1.5)或(0.5,3.5).
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