Question

已知F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|最小

已知F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）若直线x-y-3=0与抛物线交于B、C两点，求△BFC的面积．

Answer 1

（1）设d为点P到x＝?

p

2

的距离，则由抛物线定义，|PF|=d，
∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，即4+

p

2

＝8，解得p=8．
∴抛物线的方程为y²=16x．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），联立

x?y?3＝0 y2＝16x

得y²-16y-48=0，
显然△＞0，y₁+y₂=16，y₁y₂=-48．
∴|y1?y2|＝

(y1+y2)2?4y1y2

＝

162+4×48

＝8

7

，
∴|BC|＝

2

|y1?y2|＝8

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