Question

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx2．（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2b；（2）当b＞1时，

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx2．（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2b；（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b；（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．

Answer 1

（1）证明：根据题设，对任意x∈R，都有f（x）≤1．
又f（x）=-b（x-

a

2b

）²+

a2

4b

．∴f（

a

2b

）=

a2

4b

≤1，
∵a＞0，b＞0，
∴a≤2

b

．
（2）证明：必要性：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≥-1．据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≤1，因为b＞1，可得0＜

1

b

＜1，可推出f（

1

b

）≤1，即a?

1

b

-1≤1，∴a≤2

b

，∴b-1≤a≤2

b

．
充分性：因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1，即ax-bx²≥-1，因为b＞1，a≤2