Question

已知函数f（x）=log2x-1x+1，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）

已知函数f（x）=log2x-1x+1，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）试讨论h（x）的奇偶性；（3）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不等实数根，求a的取值范围．

Answer 1

（1）要使函数f（x）=log₂

x-1

x+1

的解析式有意义
则

x-1

x+1

＞0
解得x＜-1，或x＞1
即函数f（x）=log₂

x-1

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
（2）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2x，
∵h（-x）+h（x）=0，
∴h（x）为奇函数；
当a≠1时，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2ax+1-a，
∵h（-2）+h（2）=2-2a≠0
故h（x）为非奇函数
令h（-3）-h（3）=12a-2=0，则a=

1

6

此时，h（-2）-h（2）≠0
故h（x）为非偶函数
综上h（x）既不是奇函数又不是偶函数；
（3）f（x）=log₂g（x）有两个零点等价于

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不等的根；
即a=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不等的根；
由y=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的图象可得

a的取值范围-1＜a＜0