Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，D、E分别是BB1、CC1的中点，M是DE的中点．（1）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，D、E分别是BB1、CC1的中点，M是DE的中点．（1）求证：平面ADE⊥平面AMA1；（2）试问能否在线段AC1上找一点N，使得直线MN与平面ADA1平行？请说明理由；（3）求三棱锥A1-ADE的体积．

Answer 1

（1）证明：如图，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵AB=AC=1，且D、E分别是BB₁、CC₁的中点，
∴可得AD=AE，A₁D=A₁E，又M是DE的中点，
∴AM⊥DE，A₁M⊥DE，又AM∩A₁M=M，
∴DE⊥平面A₁AM，而DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面AMA₁；
（2）解：N为AC₁中点时，直线MN与平面ADA₁平行．
事实上，连结BC₁，则M∈BC₁，
M是BC₁的中点，N为AC₁的中点，
∴MN∥AB，又AB?ADA₁，MN?ADA₁，
∴直线MN与平面ADA₁平行；
（3）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，∴AB⊥平面A₁AE．
即AB的长度为D到平面A₁AE的距离，而S△A1AE＝

1

2

AC?AA1＝

1

2

×1×2＝1．
∴VA1?ADE＝VD?A1AE＝

1

3

S△A1AE?AB＝

1

3

×1×1＝

1

3

．