对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(...
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.己知f(x)=x3-3x2+2x+2,请回答下列问题:(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标______;(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论______.
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(1)依题意,得:f′(x)=3x2-6x+2,∴f″(x)=6x-6.
由f″(x)=0,即 6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
故答案为:(1,2)
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2).
而f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2
=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f(1),
由定义(2)知:f(x)=x3-3x2+2x+2关于点(1,2)对称.
一般地,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)的“拐点”是(
,f(-
)),它就是f(x)的对称中心.
(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数;都对.)
故答案为:任何一个三次函数都有拐点
由f″(x)=0,即 6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
故答案为:(1,2)
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2).
而f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2
=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f(1),
由定义(2)知:f(x)=x3-3x2+2x+2关于点(1,2)对称.
一般地,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)的“拐点”是(
?b |
3a |
b |
3a |
(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数;都对.)
故答案为:任何一个三次函数都有拐点
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