Question

设函数f（x）=cos2x+asinx-a4?12．（1）当 0≤x≤π2时，用a表示f（x）的最大值M（a）；（2）当M（a）=2

设函数f（x）=cos2x+asinx-a4?12．（1）当 0≤x≤π2时，用a表示f（x）的最大值M（a）；（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）f（x）=1-sin²x+asinx-

a

4

?

1

2

=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

?

a

4

+

1

2

当 0≤x≤

π

2

时，0≤sinx≤1．
当

a

2

≤0时，即a≤0时，在sinx=0取最大值，M（a）=?

a

4

+

1

2

当0＜

a

2

＜1时，即0＜a＜2时，在sinx=

a

2

取最大值，M（a）=

a2

4

?

a

4

+

1

2

当1≤

a

2

＜1时，即a≥2时，在sinx=取最大值，M（a）=

3a

4

?

1

2

综上所述M（a）=

? a 4 + 1 2 a≤0 a2 4 ? a 4 + 1 2 0＜a＜2 3a 4 ? 1 2 a≥2

（2）M（a）=2时，由（1）解得a=-6或a=

10

3

当a=-6时，f（x）=-（sinx+3）²+11，f（x）min=-5．
当a=

10

3

时，f（x）=-（sinx-

5

3

）²+

22

9

，f（x）min=-

1

3

．