Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．（1）如图（1），若点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，

已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．（1）如图（1），若点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直角三角形；（2）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）如图（3），若BC=AC=4，CD=CE=2，将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°＜a＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，求在整个旋转过程中线段MN的最大值，并写出此时a的度数．

Answer 1

解答：解：（1）∵BC=AC，CD=CE，
∴BD=AE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）
=180°-（45°+45°）=90°
∴△OMN是等腰直角三角形．

（2）如图2，连接AE、BD，
∵△CDE顺时针旋转90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，

BC＝AC ∠ACE＝∠ACB＝90° CD＝CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD，∠BON=∠BAE，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）
=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

（3）如图，连接AE、BD，由（2）同理可证△OMN为等腰直角三角形．
∴MN=

2

OM．
又∵OM=

1

2

BD，
∴MN=

2

2

BD，
∴当BD最大时线段MN最大，显然，当△CDE绕着点C顺时针旋转180°，即α=180°时，
BD_最大=4+2=6，则MN_最大=

2

2

×6=3

2

．