Question

高等数学求不定积分

除了第一步的凑积分看懂了，之后就不懂了，请问这道题用了什么方法或公式？

Answer 1

积分公式
∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C。

求解
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

Answer 2

用了分部积分法，按照“反对幂指三”的顺序来确定u。
第一步：被积函数是“幂函数乘对数函数”，幂在前，所以将幂函数积分，得到第一个等式。
第二步：第二个等式及以后就是按照上述规则使用分部积分法了，最后一个等式是直接积分。

Answer 3

∫x（lnx）^2dx
＝（1/2）∫（lnx）^2d（x^2）
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）∫x^2d［（lnx）^2］
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）∫x^2·（2lnx）d（lnx）
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－∫x^2·lnx·（1/x）dx
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－∫xlnxdx
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）∫lnxd（x^2）
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）［x^2·lnx－∫x^2d（lnx）］
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）x^2·lnx＋（1/2）∫x^2·（1/x）dx
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）x^2·lnx＋（1/2）∫xdx
＝（1/2）x^2·（lnx）^2－（1/2）x^2·lnx＋（1/4）x^2＋C。

Answer 4

后面用的是分部积分法

追问

xiexie

追答

求导啊，然后继续分部

Answer 5