Question

如图1,在正方形ABCD中,三角形AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求

（2011•咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3 倍根号2

，求AG，MN的长．

Answer 1

三角形ABE与AEG全等，AGF与AFG全等，根据对应角分别相等，角BAD为90度，可知角EAF=45度。
旋转所得三角形与原三角形全等。可知DH=BM,AH=AM,角BAM=角HAD.因为角BAM+角NAD=45度，所以角NAD+角DAH=45度，角MAN=角NAH,三角形MAN全等于三角形NAH(SAS),所以NM=NH.因为角B+角ADB=90度，角B=角DAH,所以角NDH等于90度，所以根据勾股定理，ND方+DH方=NH方，即BM方+DN方=MN方。
已知BE=EG=4，DF=FG=6，根据勾股定理，CE方+CF方=100.再根据，BC=CD,即，CE+4=CF+6，可得CE=8，CF=6.所以AG=BC=12.
根据第二问结论，DN方+18=MN方，再根据，BD=12被根号二，即DN+MN+三倍根号二=12倍根号二。解得，DN=四倍根号二，MN=五倍根号二。

Answer 2

1, AB=AG AE=AE RT△ABE≌RT△AGE
∠BAE=∠GAE 同理：∠DAF=∠GAF
∠EAF=∠GAE+∠GAF=(∠BAG+∠DAG)/2=90/2=45
2, ∠BAM+∠DAN=90-∠MAN=90-45
∠HAN=∠HAD+∠DAN ∠HAD=∠MAB
∠HAN=∠BAM+∠DAN=45
AH=AM ∠HAN=∠MAN=45 AN=AN
△AHN≌△AMN NH=MN
∠HDN=HDA+∠ADB=45+45=90
NH^2=HD^2+ND^2 MN=NH
MN^2=ND^2+HD^2

追问

3呢

追答

3,

∠EMB=∠MAN=45  ∠BME=∠AMN  △BME≌△AMN

 ∠ANM=∠BEM   ∠ANM=DNF 

∠BEM=∠DNF  ∠MBE=∠FDN=45  △BME≌△DFN

BE/BM=DN/DF  由上面(1)知BE=EG  GF=DF

EG/BM=DN/GF  DN=EG*GF/BM=6*4/3√2=4√2

HD=BM  MN=NH  NH^2=HD^2+ND^2=18+32=50

MN=NH=5√2

BD=BM+MN+DN=3√2+5√2+4√2=12√2

AB=BD*sin45=12√2*√2/2=12

AG=AB=12