Question

高数 不定积分 凑微分法？

下面的是正确答案，可上面的把根号x换元进去过程哪不对么，为啥啊

Answer 1

见下图：

Answer 2

x(4-x)
=4x-x^2
= 4-(x-2)^2
let
x-2 = 2sinu
dx=2cosu du
∫dx/√[x(4-x)]
=∫ du
=u + C
=arcsin[(x-2)/2] +C

追问

这个知道，我想问的是另一种方法错没错，因为啥

追答

应该是这样！
∫dx/√[x(4-x)]
=2∫d√x/√(4-x)
=∫d√x/√(1- x/4)
= 2∫d√(x/4)/√[1- (√(x/4))^2]
=2arcsin[√(x/4)] +C
verify

y= 2arcsin[√(x/4)] +C
y'
= {2/√(1-x/4) } . [√(x/4)]'
= {2/√(1-x/4) } . [ (1/2)/ √(x/4)] . (x/4)'
= {2/√(1-x/4) } . [ (1/2)/ √(x/4)] . (1/4)
= {2/√(1-x/4) } . ( 1/√x) . (1/4)
= {4/√(4-x) } . ( 1/√x) . (1/4)
=1/√[x.(4-x)]

追问

那可以说是2arcsin［√（1-x/4）］+c和arcsin（x-2/2）+c是相等的么