Question

已知两圆c1x2+y2-2x-3＝0，c2x2+y2-4x+2y+3＝0,1）证明圆c1与圆c2相

已知两圆c1x2+y2-2x-3＝0，c2x2+y2-4x+2y+3＝0,1）证明圆c1与圆c2相交
2）求通过两圆c1和c2的交点和原点的圆的方程

Answer 1

(1)
C1可以写作(x-1)^2+y^2=4，即圆心在(1,0)，半径为2。
C2可以写作(x-2)^2+(y+1)^2=2，即圆心在(2,-1)，半径为根号2。
两圆心之间的距离为根号2。
因为圆心距小于两半径之和而大于两半径之差，所以两圆相交。

(2)
先求两圆焦点。
联立两个圆的方程，使(x1,y1)同时满足C1和C2。
x^2+y^2-2x-3=0 ....(1)式
x^2+y^2-4x+2y+3=0 ....(2)式
(2)式-(1)式，-2x+2y+6=0
解得y=x-3，带入(1)式，得x^2+(x-3)^2-2x-3=0
化简得2x^2-8x+6=0，故x=3或0，对应地，y=0或-3
即交于(3,0), (0,-3)
设该圆方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其上有三点已确定。
先将(0,0)代入，a^2+b^2=r^2 ....(3)式
将(3,0)代入，(3-a)^2+b^2=r^2，即9-6a+a^2+b^2=r^2，所以6a=9，a=3/2
将(0,-3)代入，a^2+(-3-b)^2=r^2，即a^2+b^2+6b+9=r^2，所以6b=-9，b=-3/2
再将a,b代入(3)式，r^2=9/2
所以该圆方程为(x-3/2)^2+(y+3/2)^2=9/2
或写作x^2+y^2-3x+3y=0

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