Question

某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。

某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。
（2）设生产A、B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？

Answer 1

(1)解：设安排生产A种产品x件，B种产品(50-x)件；x件A种产品需要甲种原料9x千克，乙种原料3x千克，可获利700x元；(50-x)件B种产品需要甲种原料4(50-x)千克，乙种原料10(50-x)千克，可获利1200(50-x)元；根据题意，可列不等式组：
9x+4(50-x)≤360 (1)
3x+10(50-x)≤290 (2)
（2）解：
由不等式（1）得：x≤30
由不等式（2）得：x≥32
不等式组的解集为 30≤x≤32
当x=30时，50-x=20
当x=31时，50-x=19
当x=32时，50-x=18
方案一：安排生产A种产品30件，B种产品20件
方案二：安排生产A种产品31件，B种产品19件
方案三：安排生产A种产品32件，B种产品18件
（3）解：根据题意，设利润为y元
y=700x+1200(50-x)
y=700x+60000-1200x
y=-500x+60000
y=-500x+60000
当x取最小值时，y有最大值，x的最小值为x=30
当x=30时，y=-500×30+60000=45000
方案一所获利润最大，最大的利润为45000元。

Answer 2

解（1）：设生产A产品x件，生产B产品(50-x)件；生产x件A产品要用甲种原料9x千克，乙种原料3x千克，可获利700x元；生产(50-x)件B产品要用甲种原料4(50-x)千克，乙种原料10(50-x)千克，可获利1200(50-x)元；根据题意，可列不等式组：
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
不等式组的解集为：30≤x≤32
不等式组的整数解为：x=30,x=31,x=32
当x=30时，50-x=20；当x=31时，50-x=19；当x=32时，50-x=18
方案一：生产A产品30件，B产品20件
方案二：生产A产品31件，B产品19件
方案三：生产A产品32件，B产品18件
解(2)：依题意 y=700x+1200(50-x)=60000-500x
y=60000-500x
当x取最小值时，y有最大值；x的最小值为x=30
当x=30时，y=60000-500×30=45000
因此，方案一获利最大，最大利润是45000元。

Answer 3

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Answer 4

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