Question

什么是非负整数、正整数、整数、有理数、实数？

Answer 1

非负整数： 0和正整数正整数： 大于0的整数
整数：自然数 (例如 1、2、3)、负的自然数 (例如 ?1、?2、?3) 与零合起来统称为整数。有理数：数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。有理数的小数部分有限或为循环。
实数：数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。本来实数只唤作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 表示。而 Rn 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。
实数的定义：
从有理数构造实数
实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理的方法设 R 是所有实数的集合，则：
集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S (S属于R，S不等于0)，若 S 在 R 内有上界，那幺 S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为√2 不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。