Question

已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交与点A、B，与双曲线y＝

已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交与点A、B，与双曲线y＝ 相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，6）.（1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出 的值为 . （2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.①判断ΔEFC的面积和ΔEFD的面积是否相等，并说明理由；②当 ＝2时，求tan∠OAB的值.

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Answer 1

⑴ ，⑵①见解析②2

（1）∵D（1，6）在y= 上， ∴m=6，即双曲线解析式是 y= ，----------1分 当C点横坐标为2时，纵坐标为3，故C(2，3). 直线AB过点C（2,3）,D（1,6），得 ，k=-3,b=9，故直线AB的解析式为y=-3x+9.-----3分 的值为 ----------------4分 （2）①设C(a,b),则ab=6, ∵S ΔEFC = (-a)(-b)= ab=3，----------------5分 而S ΔEFD ＝ ×1×6＝3， ∴S ΔEFC =S ΔEFD --------------------6分 ②由S ΔEFC =S ΔEFD 知EF∥CD，易知DFEA，FBCE都是平行四边形，--------------7分 ∴CE=BF，易知三角形DFB与三角形AEC全等， ∴AC=BD，-----------------9分 ∵ =2，设CD=2k，AB=k,DB= , ∴ ,由ΔDFB∽ΔAOB，知OA=2，且 , -------10分 ∴OB="4," ∴tan∠OAB= .------ ------11分 图1                                   图2 （1）首先由点D可求出双曲线的解析式，再由点C的横坐标为2时求出它的纵坐标，即可求出直线AB的解析式，利用勾股定理求出AB、CD的长 （2）利用C、D点的坐标，判断ΔEFC的面积和ΔEFD的面积相等；通过三角形DFB与三角形AEC全等，求得AC=BD，从而求得ΔDFB∽ΔAOB，根据相似比求得tan∠OAB的值.