Question

已知f（x）=（1ax?1+12）?x3（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3

已知f（x）=（1ax?1+12）?x3（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）要使函数有意义，则a^x-1≠0，即x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
∴定义域关于原点对称，
则f（x）=（

1

ax?1

+

1

2

）?x³=

ax+1

2(ax?1)

?x3，
∴f（-x）=

a?x+1

2(a?x?1)

?(?x)3=-

1+ax

2(1?ax)

?(?x3)=

ax+1

2(ax?1)

?x3=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）是偶函数；
∴f（x）＞0在定义域上恒成立，
则只需要当x＞0时，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=

ax+1

2(ax?1)

?x3＞0即可，
∴a^x-1＞0，
即a^x＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范围是a＞1．