Question

△ABC中（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范围（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，

△ABC中（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范围（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）∵△ABC中，2B=A+C， ∴A+B+C=π，即B= π 3 ， ∵b=1，∴由正弦定理得：2R= b sinB = 1 3 2 = 2 3 3 ， ∵A+C= 2π 3 ，即C= 2π 3 -A， ∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R（sinA+sinC）= 4 3 3 [sinA+sin（ 2π 3 -A）]= 4 3 3 2sin π 3 cos（A- π 3 ）=4cos（A- π 3 ）， ∵0＜A＜ 2π 3 ，∴- π 3 ＜A- π 3 ＜ π 3 ， ∴ 1 2 ＜cos（A- π 3 ）＜1，即2＜4cos（A- π 3 ）＜4， 则a+c的范围是（2，4）； （2）已知等式利用正弦定理化简得：2a 2 =b（2b+c）+c（2c+b），即b 2 +c 2 -a 2 =-bc， ∴cosA= b 2 + c 2 - a 2 2bc = -bc 2bc =- 1 2 ， ∵A为三角形内角，∴A=120°，即B+C=60°， ∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=cos（B-30°）=1， ∴B-30°=0，即B=30°， 则△ABC为等腰三角形．