Question

sin1/x是有界函数吗?

Answer 1

sin1/x是有界。

正弦函数sinx满足：对任意实数x，|sinx|≤1。所以，|sin（1/x）|≤1。有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D）是一个有上（下）界的数集。|f（x）|=|sin（1/x）|<=1，所以是有界的。有界函数乘以无穷小=无穷小，所以后面这个函数趋向0。

有界函数

有界函数是设f（x）是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f（x）≤M，则称f（x）是区间E上的有界函数。其中m称为f（x）在区间E上的下界，M称为f（x）在区间E上的上界。有界函数并不一定是连续的。

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D）是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ （x）=sinx所定义的函数f：R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

以上内容参考：百度百科——有界函数