Question

积化和差公式推导过程是什么？

Answer 1

和差化积公式推导过程如下：

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb

cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

（1）积化和差最后的结果是和或者差。

（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减。

（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项。

（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。

Answer 2

积化和差公式是用于计算两个三角函数的乘积或差的公式。下面是积化和差公式的推导过程：
我们从和差角公式出发推导积化和差公式。和差角公式如下：
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
我们现在想要得到乘积的形式，所以让 A - B = C，从而 B = A - C。我们可以将和差角公式改写为：
sin C = sin A cos (A - C) - cos A sin (A - C)
然后我们将公式以 sin C 分割，有：
sin C = sin A (cos A cos C + sin A sin C) - cos A (cos A sin C - sin A cos C)
我们将括号内的项进行合并和整理，得到：
sin C = (sin A cos A cos C + sin A sin A sin C) - (cos A cos A sin C - cos A sin A cos C)
简化后，得到：
sin C = sin A cos A cos C + sin A sin A sin C - cos A cos A sin C + cos A sin A cos C
继续简化，得到：
sin C = (sin A cos A cos C - cos A sin A cos C) + (sin A sin A sin C - cos A cos A sin C)
可以继续合并括号内的项，得到：
sin C = cos A cos C (sin A - cos A) + sin A sin C (sin A - cos A)
再次简化，得到：
sin C = (sin A - cos A) (cos A cos C - sin A sin C)
最后，我们可以得到积化和差公式：
sin (A - B) = (sin A - cos A) (cos A cos B + sin A sin B)
这就是积化和差公式的推导过程。类似的方法也可以用来推导其他三角函数的乘积形式。

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示