Question

椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线x2m2-y23-m2=1(0＜m2＜3)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直

椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线x2m2-y23-m2=1(0＜m2＜3)有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线y2=2x于M、N两点，且OM⊥ON．（1）求椭圆E的方程；（2）设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

Answer 1

（1）设点M（x₁，y₁），N(x2，

y

2

)．
设直线l：ty=x-a，代入y²=2x，并整理得y²-2ty-2a=0，
所以

y1+y2=2t y1?y2=-2a

 …（2分）
故有

OM

?

ON

=x1?x2+y1?y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1?y2=(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2
=（t²+1）（-2a）+at²+a²=a²-2a，解得a=2…（5分）
又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有c=

3

，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（7分）
（2）PA⊥PB．
证明：设P（x₀，y₀），则A（-x₀，-y₀），D(x0，-

1

2

y0)且x02+4

y

2 0

=4
将直线AD的方程y=

y0

4x0

(x+x0)-y0代入椭圆的方程，
并整理得