Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC延长线上的一点，F是对角线AC上的一点，AF=CE，连接BF、EF．（1）若

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC延长线上的一点，F是对角线AC上的一点，AF=CE，连接BF、EF．（1）若AB=4，点F是AC边的中点，求BF的长；（2）若点F是AC边上的任意一点（不与点A、C重合），求证：BF=EF．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点F是AC边的中点，AB=4，
∴AF=2，BF=ABcos60°=2

3

；

（2）过点F作FG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°
又∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AG=AF，
∴BG=CE，
又∵CE=AF，
∴GF=CE，
∵∠BGE=∠ECF=120°，
则在△BGF和△FCE中，

GF＝CE ∠BGF＝∠FCE BG＝FC

，
∴△BGEF≌△FCE（SAS），
∴BF=EF．