如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA1⊥AC1，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．（
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA1⊥AC1，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ...
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA1⊥AC1，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A-A1B-C的余弦值．
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解答：（Ⅰ）证明：由题知A1D⊥平面ABC，而A1D?平面A1ACC1，
所以平面A1ACC1⊥平面ABC，…（2分）
又BC⊥AC，BC?平面ABC，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以BC⊥平面A1ACC1，故BC⊥AC1，…（4分）
又AC1⊥A1B，BC、A1B?平面A1BC，BC∩A1B=B，
所以AC1⊥平面A1BC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：取AB中点E，连DE，
则由DE、DC、DA1两两垂直，可如图建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）可知AC1⊥平面A1BC，故AC1⊥A1C，所以△A1AC为等边三角形，
所以A1D＝
，
故可得各点坐标分别为A(0 ， ?1 ， 0) ， B(2 ， 1 ， 0) ， A1(0 ， 0 ，
)，
C(0 ， 1 ， 0) ， E(1 ， 0 ， 0) ， C1(0 ， 2 ，
)…（9分）
所以
＝(2 ， 2 ， 0)，
＝(0 ， ?1 ， ?
) ，
＝(0 ， 3 ，
)
设
＝(x ， y ， z)为平面A1AB的法向量，
则由
，得
，
令x=3，则得
＝(3 ， ?3 ，
)，…（10分）
又由（Ⅰ）知平面A1BC的法向量为
＝(0 ， 3 ，
所以平面A1ACC1⊥平面ABC，…（2分）
又BC⊥AC，BC?平面ABC，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以BC⊥平面A1ACC1，故BC⊥AC1，…（4分）
又AC1⊥A1B，BC、A1B?平面A1BC，BC∩A1B=B，
所以AC1⊥平面A1BC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：取AB中点E，连DE，
则由DE、DC、DA1两两垂直，可如图建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）可知AC1⊥平面A1BC，故AC1⊥A1C，所以△A1AC为等边三角形，
所以A1D＝
| 3 |
故可得各点坐标分别为A(0 ， ?1 ， 0) ， B(2 ， 1 ， 0) ， A1(0 ， 0 ，
| 3 |
C(0 ， 1 ， 0) ， E(1 ， 0 ， 0) ， C1(0 ， 2 ， | 3 |
所以
| AB |
| A1A |
| 3 |
| AC1 |
| 3 |
设
| n |
则由
|
|
令x=3，则得
| n |
| 3 |
又由（Ⅰ）知平面A1BC的法向量为
| AC1 |
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