Question

求大神指点

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=2lnx-x2，
∴f′（x）=-2x．∴f′（1）=0．…
又∵f（1）=-1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+1=0．…
（3）∵f（x）=2a2lnx-x2，∴f′（x）=．
∵x＞0，a＞0，∴当0＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，a]上是增函数，在[a，+∞）上是减函数．…
∴f（x）max=f（a）=a2（2lna-1），…
讨论函数f（x）的零点情况如下．
①a2（2lna-1）＜0，即0＜a＜时，函数f（x）无零点，在（1，e2）上也无零点；…
②当a2（2lna-1）=0，即a=时，函数f（x）在（0，+∞）内有唯一零点a，而1＜a＜e2，∴f（x）在（1，e2）内有一个零点；…
③当a2（2lna-1）＞0，即a＞时，
由于f（1）=-1＜0，f（a）=a2（2lna-1）＞0．f（e2）=（2a-e2）（2a+e2），
当2a-e2＜0时，即时，1＜＜e2，f（e2）＜0，由单调性可知，函数f（x）在（1，a）内有唯一零点x1、在（a，e2）内有唯一零点x2满足，∴f（x）在（1，e2）内有两个零点；         …
当2a-e2≥0时，即时，f（e2）≥0，而且＞0，f（1）=-1＜0，由单调性可知，无论a≥e2还是a＜e2，f（x）在（1，）内有唯一的一个零点，在[，e2）内没有零点，从而f（x）在（1，e2）内只有一个零点；…
综上所述，有：当0＜a＜时，函数f（x）无零点；当a=或时，函数f（x）有一个零点；当时，函数f（x）有两个零点．。