Question

求函数y=2-sinx/3+cosx的值域

Answer 1

y=(2-sinx)/(3+cosx)
∵3+cosx≠0
∴两边同乘以3+cosx得：
3y+ycosx=2-sinx
sinx+ycosx=2-3y
令cost=1/√(1+y²)，sint=3y/√(1+y²)：
√(1+y²)(sinxcost+cosxsint)=2-3y
√(1+y²)sin(x+t)=2-3y
sin(x+t)=(2-3y)/√(1+y²) ∈【-1，1】
(2-3y)²/(1+y²) ∈【0，1】
(2-3y)² ≤ 1+y²
4-12y+9y² ≤ 1+y²
y²-3/2y≤-3/8
(y-3/4)²≤3/16
(3-√3)/4≤y≤(3+√3)/4
值域【(3-√3)/4，(3+√3)/4】

Answer 2

解：
-1≤cosx≤1，3+cosx恒>0，分式恒有意义，函数定义域为R
整理，得
sinx+ycosx=2-3y
√(1+y²)sin(x+θ)=2-3y (其中，tanθ=y)
sin(x+θ)=(2-3y)/√(1+y²)
-1≤sin(x+θ)≤1
-1≤(2-3y)/√(1+y²)≤1
(2-3y)²/(1+y²)≤1
整理，得
y²-(3/2)y≤-3/8
(y- 3/4)²≤3/16
-√3/4≤y-3/4≤√3/4
(3-√3)/4≤y≤(3+√3)/4
函数的值域为[(3-√3)/4，(3+√3)/4]

Answer 3

y(3+cosx)=2-sinx
sinx+ycosx=2-3y
√(1+y²)sin(x+t)=2-3y , t=arctny
由于|sin(x+t)|<=1
因此√(1+y²)>=2-3y
得：1+y²>=4-12y+9y²
8y²-12y+3<=0
(4-√3)/4=<y<=(4+√3)/4
即1-√3/4=<y<=1+√3/4
因此y的值域为[1-√3/3, 1+√3/4]