Question

一道数学题 急急急急急！！！！！！

已知:如图所示,在正方形ABCD中,E,F,分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连结CG，试说明：三角形CGB是等腰三角形

Answer 1

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、DC的中点，

∴AD=BA、DF=AE、∠ADF=∠BAE=90°

∴△ADF≌△BAE

∴∠EBA=∠FAD，∠AEB=∠DFA

∵∠FAD+∠AFD=90°

∴∠AEB+∠FAD=90°

∴∠AGE=90°

∴AF垂直BE；

过C做CP‖AF交AB于P，交BE于Q ,如图

∵CD‖AB， 

∴FCPA为平行四边形 

∴FC=AP=1/2*AB， 

即P为AB中点，从而Q为BG中点 

∵AF⊥BE，CP⊥BE 

∴CQ是BG垂直平分线 

∴CG=CB 

∴△GCB为等腰三角形

Answer 2

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、DC的中点，∴AD=BA、DF=AE、∠ADF=∠BAE=90°∴△ADF≌△BAE∴∠EBA=∠FAD，∠AEB=∠DFA∵∠FAD+∠AFD=90°∴∠AEB+∠FAD=90°∴∠AGE=90°∴AF垂直BE；过C做CP‖AF交AB于P，交BE于Q ,如图∵CD‖AB， ∴FCPA为平行四边形 ∴FC=AP=1/2*AB， 即P为AB中点，从而Q为BG中点 ∵AF⊥BE，CP⊥BE ∴CQ是BG垂直平分线 ∴CG=CB ∴△GCB为等腰三角形。

追问

太复杂了 而且第一句话有问题 四边形abcd是正方形

追答

E、F分别是AD、DC的中点。证明:连BF,BA=AD=DC AE=AD/2 DF=DC/2∴AE=DF∴RT△BAE≅RT△ADF∴∠ABE=∠DAF ∠BEA=∠AFD∴△AGE∼△ADF∴∠AGE=∠ADF=RT∠=∠BGF=BCF∴BCFG四点共圆，∠CGF=∠CBF易知△CBF≅△ABE∴∠CBF=∠ABE∴∠ABE=∠CGF∠CBG=90-∠ABE∠CGB=90-∠CGF∴∠CBG=∠CGB∴CG=CB∴△CGB是等腰三角形

追问

这是初中题 你这解法...........

追答

建立平面直角坐标系： 设正方形边长为2，B（0，0）A（0，2）C（2，0） D（2，2），E（1，2），F（2，1） 由B，E两点得：y=2x（1) 由A，F两点得：2=b，1=2a+b，a=-1/2，y=-1/2x+2，（2） 联立（1），（2)得x=4/5，y=8/5， 即G（4/5，8/5） GC=√[4/5-2）²+（8/5-0）²]， =√（-6/5）²+（8/5）²] =√（36/25+64/25） =√4 =2， ∴GC=BC=2， 即三角形BGC是等腰三角形。

Answer 3

延长AF交BC于M证明△ADF全等于△MCF可知CM=AD，所以C是BM中点，在证明△ADF全等于△BAE，根据等角的余角相等可知BE⊥AF,所以△BGM是直角三角形，再根据直角三角斜边上中线的性质就可以得到了。

Answer 4