Question

已知向量a=(sinθ,1),向量b=(√3,-cosθ),且向量a⊥向量b,其中θ∈(0,π/2)

（1）求θ的值

（2）若sin(ε-θ）=1/3,0<ε<π/2，求cosε的值

Answer 1

(2)向量a⊥向量b
a*b=0
√3sinθ-cosθ=0
2sin（θ-π/6）=0
解得θ=π/6

(2)sin(ε-θ）=1/3

-π/6 <ε-θ<π/2 -π/6

所以cos(ε-θ）>0
cos=√（1-1/9）=2√2/3
cosε=cos[(ε-θ)+θ]

=cos(ε-θ)cosθ-sin(ε-θ)sinθ
=2√2/3 *√3/2 -1/3 *1/2
=√6/3-1/6

Answer 2

依题意，√3*sinθ-1*cosθ=0
依照a*sinθ+b*cosθ=√(a^2+b^2)*sin(θ+ω), ω为向量(a,b)的辐角，
可知，2*sin(θ-30)=0, θ=30

sin(ε-30)=sinε*(√3/2)-cosε*0.5=1/3
sinε=√(1-(cosε)^2)
所以，[√(1-(cosε)^2)*(√3/2)]^2=(1/3+cosε*0.5)^2
解二次方程可得，cosε=(-1+2√6)/6或(-1-2√6)/6
因为ε在0到90之间，所以cosε为正。
所以cosε=(-1+2√6)/6