Question

设f(x)在[a,b]上具有二阶导数 且f(a)=f(b)=0 f'(a)f'(b)>0 证明 至少存在一点c属于（a,b),使f‘’（c）=0

有个老师说可以这样做
因 f'(a)f'(b)>0 那么 f'(a)f'(b)同号，设都大于0 导数是个极限，那么根据极限的保号性，和f(a)=f(b)=0，在 a某一邻域f大于0，在b的某一邻域f小于0，根据函数f在[a,b]上连续，必然有一点x1使得f(x1)=0 那么在（a，x1)和（x1，b）上用罗尔定理，得出f'(x2)=f'(x3)=0.那么继续在，（x2，x3）上使用罗尔定理，得出存在一个c，使得f‘’（c）=0 。这是思路但是步骤我不怎么清楚，尤其是他说什么极限保号性，麻烦老师你写清楚步骤，我怕考试丢分。谢谢啊

Answer 1

函数极限的局部保号性
设lim(x→x0)f(x)=A,且A>0(或A<0),那么存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有f(x)>0
在这里f'(x)=[f(x)-f(x0)](x-x0),把保号性中的f(x)替换成f'(x),并令x0=a,取右极限,则lim(x→a+)f(x)/(x-a)=f'(a)>0,而x-a>0,所以得到f(x)>0.意思就是说在(a,a+δ)上f(x)>0
同理对b取左极限就可以得到在(b-δ,b)上f(x)<0
根据介值定理,在(a,b)上存在f(d)=0,即f(a)=f(d)=f(b)=0
对(a,d)使用罗尔定理有x1∈(a,d)使f'(x1)=0,同理对(d,b)使用罗尔定理有x2∈(d,b)使f'(x2)=0
那么对(x1,x2)使用罗尔定理,就有c∈(x1,x2),使f''(c)=0